Bonjour, je vais essayer de vous guider questions par questions.
Pour la premiere, pour d?terminer le polyn?me caract?ristique il faut bien calculer
Je vous joint un document avec le d?tail de la matrice ainsi que le d?but du calcul. Il faut le terminer en factorisant au maximum.

Pour d?terminer les valeurs propres il faut r?soudre P(A)=0.
Pour la multiplicite respectives je pense que c'est tout simplement si ce sont des valeurs propre simple, double, ...

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Pour d?terminer le polyn?me minimal de A , on fait les remarques suivantes :
il admet 2 et 6 comme racines,
il divise (x-2)^2(x-6)^2
il est unitaire.
Il n'y a plusieurs possibilite:
(x-2)(x-6) ou (x-2)^2(x-6) ou (x-2)^2(x-6)^2 Pour conclure il suffit de calculer (A-2Id)(A-6Id) . Si le r?sultat est la matrice nulle, le polyn?me minimal est celui ci, dans le cas contraire il faut faire la m?me chose avec le deuxi?me.

f sera diagonalisation si et seulement si le polyn?me minimale admet que des valeurs propres simple.

Pour la derni?re on vous demande de trouver la matrice H. Pour la d?terminer il faut r?soudre des petites ?quations.
Il faut d?terminer la base pour chaque valeurs propres. Les 4 bases formeront la matrice H.

Pour les d?terminer il faut ?crire
(a b c d) ?tant une matrice colonne. Une fois trouver (a b c d) formeront la premi?re et deuxi?me base. Il faudra faire de m?me avec la seconde valeur propre.
Pour d?terminer J il faudra ensuite calculer

Pour la derni?re question je me suis mal exprim?e. En fait il faut que vous trouviez quatre vecteur associ?s aux valeurs propres (v1, v2, v3, v4) Ce sont ces vecteurs qui formeront votre matrice.
Pour d?terminer v1 et v3 il faut r?soudre:
(A-2I)v1=0 et (A+6I)v3=0. Sachant que les valeurs possible pour les coordonn?es des vecteurs ne peuvent ?tre que 1, -1 ou 0.
JE vous joint l'exemple pour trouver v1.

Une fois que vous avez v1 et v3 pour d?terminer les deux autres il faudra r?soudre:
(A-2I)v2=v1 et (A-2I)v4=v3

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Bonsoir,
Dans la première question au sujet des dimensions des sous-espace des valeurs propres je ne suis pas d'accord car la dimension est toujours comprise entre 1 et la multiplicité de la valeur propre. Pour déterminer la dimension il faut déterminer le ou les vecteurs propres associés à la valeur propre. Un vecteur donc dimension 1 deux vecteurs non colinéaire donc dimension 2.

Je rajouterais également pour la question ou on vous demande si la matrice est diagonalisable qu'elle ne l'est pas car il n'y a pas de valeurs propres simple.