Bonjour,
Il aurait ?t? pr?f?rable que vous essayiez de pr?ciser ce que vous ne comprenez pas dans l’?nonc? afin de vous guider de mani?re plus adapt?.
L’exercice vise ? vous faire comprendre les d?finitions de base des propri?t?s d’une application associant les ?l?ments de deux ensembles. En l’occurrence, l’application not?e ? g ? associe les ?l?ments de l’ensemble ? G ? aux ?l?ments de l’ensemble ? H ?. Ainsi l’?l?ment ? 1 ? de l’ensemble G est associ? ? l’?l?ment ? a ? de l’ensemble H par l’application g. On dit que a est ? l’image ? de 1 par l’application g. On peut ?crire g(1)=a. De m?me g associ? l’?l?ment 2 ? c, ou encore 3 ? c. On peut ?crire g(2)=c, ou g(3)=c etc…
La premi?re s?rie de question vous demande de consid?rer des ? sous-ensembles ? C et C’ de l’ensemble plus large G. Le sous-ensemble C ne contient que deux ?l?ments qui sont 1 et 2. Donner les ?l?ments de g(C) n?cessite de regarder quels sont les ?l?ments dans H qui sont associ? ? chacun des ?l?ments de C, sous-ensemble de G par l’application g. Dans le cas du sous-ensemble C, Il faut donc regarder quel est l’?l?ment associ? ? g(1) et ? g(2). Les r?ponses sont a et c donc on peut ?crire g(C)={a,c}. Pour g(C’) il vous suffit de regarder les ?l?ments associ? ? 1 et 3 dans H.
Les questions 1 )b) et 1)c sont similaires mais il faut cette fois consid?rer des sous-ensemble de G un peu diff?rents puisqu’il s’agit soit de ? l’union ? de C et C’ soit de leur ? intersection ?. L’union de deux ensembles C et C’ comporte simplement la totalit? des ?l?ments de C et des ?l?ments de C’ donc (C U C’) = {1,2,3} et donc g(C U C’) = {g(1), g(2), g(3)} c’est-?-dire g(C U C’) ={a,c} car 2 et 3 sont tous les deux associ?s ? c. L’intersection de C et C’ ne comporte qu’un seul ?l?ment, le seul ?l?ment commun ? C et C’ c’est-?-dire ? 1 ?. Vous pouvez donc trouver l’image de 1 et cela vous donnera l’image de l’intersection de C et C’.
La deuxi?me question vous demande de faire le m?me genre de raisonnement mais cette fois sur les images r?ciproques (on dit aussi les ? ant?c?dents ?) c’est-?-dire sur les ?l?ments de G qui sont associ? ? ceux de H par l’op?ration inverse de g (il suffit de suivre les fl?ches en sens inverse !) Ainsi d?terminer g-1(D) revient ? trouver quels ?l?ments de G ont pour image a, ou b, ou c par l’application g. ? a ? a pour ant?c?dent 1, ? b ? n’a pas d’ant?c?dent (aucune fl?che ne pointe sur b) et c a pour ant?c?dent ? 2 ? et ? 3 ?. donc g-1(D)={1,2,3}. Il vous suffit de faire le m?me raisonnement pour les autres sous-ensembles D’ et D’’. La m?me d?marche vous donnera les r?ponses pour les questions 2b) et 2c)
L’application ? g ? serait injective si pour tout ?l?ment y dans l'ensemble d’arriv?e H, il existe au plus un ?l?ment x dans l'ensemble de d?finition G tel que g(x) = y. Etant donn? que les ?l?ments C et e de H ont plusieurs ant?c?dents dans G (par exemple c a trois ant?c?dents qui sont 2, 3 et 5. Donc g n’est pas une injection
Enfin, par d?finition, pour que g soit une surjection il faudrait que tout ?l?ment de H ait au moins 1 ant?c?dent… regarder si c’est le cas pour l’?l?ment ? b ?.
Pour que nos ?changes vous soit plus profitables, une prochaine fois il serait important que vous ?criviez ce que vous arrivez ? faire ou pas, les d?finitions de cours que vous ne comprenez pas ou les points pr?cis de l’?nonc? qui vous bloquent.
Bien cordialement