Produit scalaire

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DÉFINITION

Le produit scalaire des vecteurs et est un réel ; il est noté :

Il est égal au produit des normes des deux vecteurs, multiplié par le cosinus de l'angle qu'ils font l'un par rapport à l'autre.

Expression analytique 

Si le vecteur a pour coordonnées (ou, si on travaille dans le plan : ) et si le vecteur a pour coordonnées (dans le plan : ), alors leur produit scalaire vaut : xx'+yy'+zz' (dans le plan : xx'+yy').

PROPRIÉTÉS

où est un réel

APPLICATIONS

Calcul de distances, de surfaces, de volumes.

Exemple : calcul de la distance du point A à la droite (D), de vecteur directeur :

Cette distance est la distance entre A et le projeté orthogonal de A sur (on va le noter : H). On a donc perpendiculaire à  ; en terme de vecteurs :

orthogonal àce qui veut dire

On connaît les coordonnées de , donc, connaissant le produit scalaire, on en déduit une relation entre l'abscisse et l'ordonnée de , donc, entre l'abscisse et l'ordonnée de  ; comme de plus appartient à , on dispose d'une relation supplémentaire entre son abscisse et son ordonnée : il ne reste qu'à résoudre un système de deux équations à deux inconnues pour trouver les coordonnées de , et donc, calculer la distance .