Equations et inéquations du second degré

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LES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ

Ce sont des équations dans laquelle l'inconnue est à la puissance 2, et éventuellement à des puissances inférieures. Exemple :

est une équation du second degré, mais aussi (qui fait intervenir ).

MÉTHODES DE RÉSOLUTION D'UNE ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ

1. En utilisant les formes canoniques 

On ramène l'équation à une forme , ou bien : ; ces équations sont ensuite simples à résoudre.

Si par exemple, les solutions sont de façon évidente .

Si , il n'y a pas de solution si , une solution si (c'est -a), deux solutions si : il suffit de passer b dans l'autre membre de l'équation et de reconnaître une identité remarquable de la forme

2. Lorsqu'il est impossible de se ramener à une forme canonique

, ou qu'il n'est pas évident de trouver a et b tels que : : on calcule le discriminant de l'équation ; son signe nous renseigne sur le nombre de solutions (aussi appelées : racines), et sa valeur nous donne les solutions éventuelles.

LE DISCRIMINANT

Soit l'équation :


(avec a non nul). Le discriminant vaut : .

Si : l'équation n'admet aucune racine réelle.

Si : elle admet une unique racine, la " racine double ", qui vaut :

Si : elle admet deux racines réelles, qui valent : et

• Lorsque l'équation n'admet pas de racine réelle (cas " "), l'expression est du signe de sur l'ensemble des réels.


• Lorsque l'équation admet une racine double (cas " "), l'expression est du signe de sur l'ensemble des réels sauf à la racine, où elle est évidemment nulle (par définition de la racine).


• Lorsque l'équation admet deux racines réelles (cas " "), l'expression est du signe de en-dehors de l'intervalle des racines, elle est de signe opposée entre les racines, et naturellement (par définition des racines), elle s'annule à chacune des deux racines.

Ces propriétés permettent de résoudre les inéquations du second degré. Par exemple, pour résoudre " ", on étudie l'existence et le nombre des racines de l'équation ; les propriétés ci-dessus permettent de déterminer sur quels ensembles l'expression est strictement positive.

FONCTIONS POLYNÔMIALES DU SECOND DEGRÉ

Ce sont des fonctions de la forme : ; l'étude du signe de ces fonctions se ramène donc à des résolutions d'équations du second degré.